スターン・ブロコットの木を採用して、 $2^m/3^n$?

Jan 26 2021

前提条件の読み物:

  1. 正の実数は次のように近似できますか $2^m/3^n$ と $(m,n)$ 十分大きい?
  2. スターンブロコットツリーシーケンス
の収束に不満足なことが起こっています $\,2^m/3^n\,$ 正の実数に向けて $\,r\,$。十分な近似に達するとすぐに、現在の反復手順の次のステップは増加することです $\,m \to m+1\,$ もし $\,2^m/3^n < r\,$ または増加する $\,n \to n+1\,$ もし $\,2^m/3^n > r\,$。しかし、それから私たちは実際にこれまでのところ私たちの近似を破壊しました、と $\,2^m/3^n \to 2.2^m/3^n\,$ または $\,2^m/3^n \to 2^m/3^n/3\,$それぞれ。このように、私たちはあまり進歩することなく、毎回最初からやり直しているように見えます。実際に必要な反復回数は非常に多いです。
この欠点がない手順、つまり次の近似が常に望ましい結果に近い手順を探していた理由。これは私がこれまでに試したことです。

質問(2.)によると 、すべての正の実数に対して$0 \lt g \lt 1$、スターンブロコットツリー[..]には、実数に収束する無限のシーケンスが存在します。一方、この質問に は答えがあり、そこでの主な結果は次のようになります。 $$ - \frac{1}{n_1(n_1+n_2)} \lt g - \frac{m_1+m_2}{n_1+n_2} \lt \frac{1}{(n_1+n_2)n_2} $$ 質問(1.)を考慮して、 $\ln(2)/\ln(3)$ その数のために $g$。次に、次のようになります。 $$ - \frac{1}{n_1(n_1+n_2)} \lt \frac{\ln(2)}{\ln(3)} - \frac{m_1+m_2}{n_1+n_2} \lt \frac{1}{(n_1+n_2)n_2} \\ - \frac{\ln(3)}{n_1} \lt \ln(2)(n_1+n_2) - \ln(3)(m_1+m_2) \lt + \frac{\ln(3)}{n_2} \\ \ln\left(3^{-1/n_1}\right) \lt \ln\left(\frac{2^{n_1+n_2}}{3^{m_1+m_2}}\right) \lt \ln\left(3^{+1/n_2}\right) \\ 3^{-1/n_1} \lt \frac{2^{n_1+n_2}}{3^{m_1+m_2}} \lt 3^{+1/n_2} $$スターン・ブロコットの木の探索を描くことができます。青い線は機能です $\,\color{blue}{x\ln(2)-y\ln(3)=0}\,$、小さな円は分数であり、グリッドにマッピングされます $\,m/n \to (m,n)\,$、非常に黒い塗りつぶされたドットは、スターンブロコットツリーの分数です。ツリーを検索する方が、増やすよりもはるかに効率的であることがわかります。 $m$ そして $n$ 一度に1つずつ増分します。

次に、上記の式の2行目の式を、参照(1.)の類似の式と比較します。 $$ \ln(2)(n_1+n_2) - \ln(3)(m_1+m_2) \quad \Longleftrightarrow \quad m\ln(2) - n\ln(3) - \ln(r) $$ そして失望に備えてください:任意の実数の対数 $r$不足している!または代わりに:$\ln(r)=0$ または $r=1$。これは、Stern-Brocotツリーを介した「無限検索」は、非常に効率的ですが、最終的には1番目の近似値に到達することを意味します。私はこれが奇妙だと思います。なぜなら、グラフィカルに、両者の間に大きな違いはないように思われるからです。$\color{red}{2^m/3^n \to r}$ そして $\color{blue}{2^m/3^n \to 1}$

したがって、質問:1つ以外の実数で機能するようにStern-Brocot手順を適応させる手段はありますか?

編集。

これは、私のQ&Aの類似の写真と比較して、スターンブロコット法による驚くべき収束を示す別のグラフです。   正の実数は次のように近似できますか?$2^m/3^n$ と $(m,n)$十分大きい?:

回答

openproblem Jan 26 2021 at 23:52

スターン・ブロコット法を使用しないアプローチを紹介します。

それを示すだけで十分です $\frac{2^{m}}{3^{n}}$区間[1,2]で密です。取ってから$\alpha\in (0,\infty)$ この間隔の外にいくつかあります $k\in Z$ そのため $\alpha = 2^{k}\gamma $ いくつかのための $\gamma \in [1,2]$。次に、シーケンスがあることがわかります$\frac{2^{m}}{3^{n}}$ 近づく $\gamma$、シーケンスを項ごとに乗算します $2^{k}$ (おそらくシーケンスのテールを取る)、シーケンスを取得します $\frac{2^{m}}{3^{n}}$ 近づく $\alpha$

次に、マップを検討します $f:[1,2] -> [0,1]$$f(x) = log_{2}(x)$ 全単射です。

の画像 $\frac{2^{m}}{3^{n}}$ 地図の下は $N-Nlog_{2}(3)$。だからそれを示すだけで十分です$N-Nlog_{2}(3)$ で密集しています $[0,1]$

これは、エルゴード定理の特殊なケースであるワイルの同程度分布定理の結果です。

検討する $a=2-log_{2}(3) = log_{2}(\frac{4}{3})$、 そう $a$ セットの画像にあるので、 $na = log_{2}(\frac{4^{n}}{3^{n}})$ の小数部分もそうです $na$

ワイル同程度分布定理(これは自明な結果ではありません)は、無理数の場合、 $na$は均一に分布しているため、[0,1]に密集しています。以来$2-log_{2}(3)$ この定理を使用できるのは不合理です。

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