「「 $\Sigma_1^1$-ペアノ算術」-ピン留めしますか $\mathbb{N}$?

Feb 22 2021

しましょう $\mathsf{PA}_{\Sigma^1_1}$通常の一階ペアノの公理を拡張して任意のものを含めることによって得られる二階述語論理の理論である$\Sigma^1_1$誘導スキームの式。私の質問は:

しますか $\mathsf{PA}_{\Sigma^1_1}$ 非標準モデルはありますか?

のモデルに注意してください $\mathsf{PA}_{\Sigma^1_1}$ まさにのモデルです $\mathsf{PA}$ なし(自明ではない適切な) $\Sigma^1_1$-定義可能なカット。

交換すれば $\Sigma^1_1$$\Pi^1_1$ モデルの標準要素のセットが $\mathsf{PA}$ です $\Pi^1_1$。ただし、同様の機能はないようです$\Sigma^1_1$ (私は簡単に明らかな何かを見逃している可能性がありますが)。

簡単な観察の1つは、 $\mathsf{PA}_{\Sigma^1_1}$真の一次算術を必要とします。一次式が与えられた$\varphi(x)$、しましょう $\hat{\varphi}(x)$ である $\Sigma^1_1$ 式「含むカットがあります $x$ カットのすべての要素が満たすように $\varphi$。 "もし $M\models\mathsf{PA}_{\Sigma^1_1}$ 私たちは自明に持っています $\hat{\varphi}^M\in\{\emptyset,M\}$; の複雑さの誘導による$\varphi$ すべての標準自然数が満たす場合、 $\varphi$ その後 $0\in\hat{\varphi}^M$ その結果、 $M\models\forall x\varphi(x)$ (それから $M\equiv\mathbb{N}$)。ただし、これを使用してカテゴリを取得する方法がわかりません。実際、私が知る限り、たとえば、$\mathbb{N}$ 満たす $\mathsf{PA}_{\Sigma^1_1}$(ご了承ください$\Sigma^1_1$文章は超能力をとって保存されます。ただし、$\Sigma^1_1$ 式は $\Sigma^1_1\vee\Pi^1_1$ そして $\Pi^1_1$ 超積をとっても文章は保存されないので、これは役に立たないようです。)

回答

5 AndreasBlass Feb 23 2021 at 04:14

あなたがあなたを許可する場合 $\Sigma^1_1$ パラメータを持つ式、次にPA$_{\Sigma^1_1}$標準モデルのみです。それを証明するには、$\Pi^1_1$ を生成するための標準性の定義 $\Sigma^1_1$$\sigma(x,y)$ それを言って $x<y$ そして $y-x$ 標準ではありません。 $x$ 無限にはるかに下にあります $y$。それを示すのは簡単です$\sigma(x,y)$ 意味する $\sigma(x+1,y)$。だから、によって$\Sigma^1_1$ 誘導、もし $\sigma(0,y)$ その後 $\forall x\,\sigma(x,y)$ そして、特に、 $\sigma(y,y)$、それはばかげています。そう$\neg\sigma(0,y)$. But that means $y$ is standard.

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