シーケンスを証明する $\{a_n\}_n$ によって定義されます $a_1=-\frac14$ そして $-a_{n+1}=\frac{a_na_{n+1}+4}4$ 収束し、その限界を見つけます。

Jan 29 2021

私の試みと控除を確認したいと思います。タスクは次のとおりです。

シーケンスを証明する $\{a_n\}_n$ によって定義されます $a_1=-\frac14$ そして $$-a_{n+1}=\frac{a_na_{n+1}+4}4$$ 収束し、その限界を見つけます。

これは私がこれまでに持っているものです:

$$-a_{n+1}=\frac{a_na_{n+1}+4}4\iff a_{n+1}(a_n+4)+4=0\tag 1$$

私はいくつかの用語を計算しました:

$a_2(a_1+4)=-4\implies a_2=-\frac{16}{15}\\a_3(a_2+4)=-4\implies a_3=-\frac{15}{11}\\a_4(a_3+4)=-4\implies a_4=-\frac{44}{29}$

私は仮定しました $a_n<0\quad\forall n\in\Bbb N$

次に、から $(1)$ そして $a_{n+1}<0$、それは続く

$\begin{aligned}a_{n+1}(a_n+4)&=-4\\\implies a_n+4&>0\\\implies a_n&>-4\end{aligned}$

次に、帰納的に、 $\,0>a_1>\ldots>a_{m-1}>a_m$ いくつかのための $m\in\Bbb N,$ 我々は持っています $\begin{aligned}a_{m-1}+4&>a_m+4>0\\\implies \frac1{a_{m-1}+4}&<\frac1{a_m+4}\\\implies \color{red}{a_m}=-\frac4{a_{m-1}+4}&>-\frac4{a_m+4}=\color{red}{a_{m+1}}\end{aligned}$

だから、シーケンス $\{a_n\}_n$ 単調で有界であるため、収束します。

また、より強力なステートメントを証明することもできます。

$a_n>-2\quad\forall n\in\Bbb N$

$$\begin{aligned}a_n+4&>-2+4=2>0\\\implies -\frac1{a_n+4}&>-\frac12\\\implies a_{n+1}=-\frac4{a_n+4}&>-\frac42=-2\end{aligned}$$

制限をに差し込む $(1)$、 我々が得る $$L^2+4L+4=(L+2)^2=0\iff L=-2$$

したがって、 $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=-2$

私の仮定と結論に間違いはありますか?別の順序で手順を実行する必要がありますか?

私は証明できなかったことを知っています $a_n<0\quad\forall n$ 機能以来の誘導による $f:\Bbb R\setminus\{-4\}\to\Bbb R\setminus\{0\}$ によって定義されます $$f(x)=-\frac4{x+4}$$ ドメイン全体で単調ではなく、 $(-\infty,-4)$ そして $(-4,+\infty)$ 別々に。

また、書くことを考えたとき $a_n=\frac{x_n}{y_n}$ その後 $$\begin{aligned}a_{n+1}&=\frac{x_{n+1}}{y_{n+1}}\\&=-\frac4{\frac{x_n}{y_n}+4}\\&=\frac{-4y_n}{x_n+4y_n}\end{aligned}$$ そして仮定する $x_{n+1}=-4y_n$ そして $y_{n+1}=x_n+4y_n$、均質な再発を得た $$\begin{aligned}y_{n+1}&=-4y_{n-1}+4y_n\\\iff y_{n+1}-4y_n+4y_{n-1}&=0\end{aligned}$$ 特性多項式で $$\lambda^2-4\lambda+4=(\lambda-2)^2$$ 重根があるので、複雑になりすぎると思いました。

どうもありがとうございました!

回答

2 ZAhmed Jan 29 2021 at 23:26

$$-4A_{n+1}=A_n A_{n+1}+4$$

しましょう $A_n=\frac{B_{n-1}}{B_n}$ $$-4\frac{B_n}{B_{n+1}}=\frac{B_{n-1}}{B_n} \frac{B_n}{B_{n+1}}+4$$ $$\implies 4B_{n+1}+4 B_n+B_{n-1}=0$$ しましょう $B_n=t^n$、その後 $$\implies 4t+4+t^{-1}\implies t=-1/2.$$ その後、 $B_n=(Pn+Q)(-2)^{-n}$$$ A_n=-2\frac{P(n-1)+Q}{Pn+Q}=-2\frac{n-1+R}{n+R}$$ $$A_1=-1/4 \implies R=1/7.$$ 最後に、次のソリューションがあります $(1)$ なので $$A_n=\frac{12-14n}{7n+1} \implies \lim_{n \to \infty}A_n=-2.$$

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