分配束の観点から最大の反鎖を特徴づけることができますか?

Jan 26 2021

これは、最近の質問「最大の反鎖の検証」に触発されています

有限半順序集合と有限分配束の間の有名な双対性には、いくつかの優れた定式化があります。それらの1つは半順序集合に割り当てます$P$ 格子 $\mathscr D\!P$そのダウンディールの(私はフレイドによって発明されたこの言葉が好きだと思います)。のダウンディール$P$ サブセット $D\subseteq P$ 満足 $p\leqslant q\in D$ $\Rightarrow$ $p\in D$。これは、和集合と共通部分の演算に関する(有界の)分配束です。有限の分配束とは逆に$L$ 半順序集合を割り当てます $\Pi\!L$その素数の。要素$p\in L$ 素数の場合 $x\land y=p$ 意味する $x=p$ または $y=p$、および素数は分割可能性によって順序付けられます。 $p\leqslant q$ iff $p$ 分水界 $q$$p|q$ すなわち。 $\exists x\ q=p\land x$、または同等に $p\land q=q$。これは、継承された順序を逆にするという点で、過度の複雑さのように思われます$L$、ただし、便宜上の問題です。順序を逆にするなど、あらゆる種類の同等の定義にいつでも切り替えることができます。 $P$ またはで $L$、素数を結合素数に置き換える、またはダウンディールの補数(アップディール、またはその両方)に渡すなど。

二元性は2つのことを言います。まず、そのすべて$L$ その素数のダウンディールの格子、すなわち要素で識別することができます $x\in L$ 素数の約数によって一意に決定されます。 $D_x:=\{p\in\Pi\!L\mid\exists y\ x=p\land y\}$; 言い換えれば、すべて$x$その素数除数の出会いです。さらに、すべてのダウンディール$D$$\Pi\!L$ です $D_x$ ユニークな $x\in L$、すなわち、 $x=\bigwedge D$

第二に、二重性はすべての半順序集合が $P$ の素数の半順序集合で識別できます $\mathscr D\!P$。つまり、$p\in P$ で識別されるようになります $\not\uparrow\!\!p:=\{q\in P\mid p\not\leqslant q\}$ との各素数 $\mathscr D\!P$ です $\not\uparrow p$ ユニークな $p\in P$。さらに$p\leqslant q$ iff $\not\uparrow\!\!p\subseteq\not\uparrow\!\!q$

有限半順序集合の場合 $P$、そのダウンディールはその反鎖と1対1で対応しています:ダウンディールへ $D$ 1つは反鎖を割り当てます $\max\!D$ その最大の要素の、そして反鎖に $\alpha\subseteq P$ ダウンディール $\downarrow\!\alpha$ 以下の要素の $\alpha$$\{p\mid\exists\ q\in\alpha\ p\leqslant q\}$

私の質問は、この二重性に訴えることなく、有限の分配束の要素を抽象的、代数的に特徴付けることができるかということです。 $L$そのデュアルポセットの最大の反鎖に対応するのはどれですか?

より明確に(私はそれを翻訳するときに間違いを犯さなかったことを願っています):それらの素数に言及することなく、純粋に代数的な特徴付けがありますか? $a\in L$ どんな素数でも $p\notin D_a$ 素数があります $p'\in\max D_a$$p'|p$

その刺激的な質問については、実際には、自由な有限分配束のみを考慮する必要があります。つまり、半順序集合のみを考慮する必要があります。$P$これは、いくつかの有限集合の完全なべき集合であり、包含順に並べられています。パワーセット内のすべての最大反鎖のセットのカーディナリティについてはあまり知られていないようです。OEISによると、これらのシーケンスは次のように始まります。$1,2,3,7,29,376,31764,...$

最大サイズの反鎖に由来するすべての有限半順序集合のクラスに関する質問マップは非常に密接に関連しているようですが、それは可能な限り最大のサイズの反鎖に関するものですが、私のものはすべての最大反鎖、つまり他のどの反鎖にも含まれていない反鎖に関するものです。明らかに、そのような反鎖は、特にパワーセットにおいて、一般にさまざまなサイズを持っている可能性があります。たとえば、2つの要素の両方の反鎖$\{\{1\},\{2\}\}$ と1つの要素の反鎖 $\{\{1,2\}\}$ のべき集合における最大の反鎖です $\{1,2\}$

回答

მამუკაჯიბლაძე Jan 28 2021 at 02:06

これは、回答自体ではなく、考えられる回答の(コミュニティウィキ)説明です。誰もがこれを本当の答えに変えてみてください。または(明らかに)それを放棄して、本当に本当の答えを書いてください。

リチャード・スタンリーはコメントで最大の反鎖について説明しています $A$$P$ の最大ブール間隔と1対1で対応しています $\mathscr D\!P$

一般的に、与えられた $D'\subseteq D$$D,D'\in\mathscr D\!P$、間隔がわかりやすい $[D',D]$ 格子同型である $\mathscr D(D\setminus D')$、 どこ $D\setminus D'$ のサブジェクトです $P$誘導された半順序で。そう$[D',D]$ ブール値であるのは、 $D\setminus D'$ 反鎖です。

逆に、任意の反鎖 $A\subseteq P$ そのようなブール間隔を生じさせ、 $D=\downarrow\!A$ そして $D'=D\setminus A$。そして(明らかに?)最大の反鎖は最大のブール間隔に対応します。

今、私が最初に見たハロルド・シモンズの作品があります。要素の場合$a$ 完全ハイティング代数では、 $$ \tau a=\bigwedge\{b\geqslant a\mid b\to a=a\}. $$ その後、 $[a,\tau a]$ 底のある最大のブール区間です $a$

明らかに、完全なハイティング代数には、二重に定義された演算子があります $\delta$ そのような $[\delta b,b]$ はトップの最大ブール区間です $b$

例。位相空間の閉集合の格子では、$\delta$Cantor-Bendixsonの導関数です。つまり、閉集合の場合$C$$\delta C$ はその限界点のセットです。

したがって、完全なバイハイティング代数を使用している場合は、両方の演算子が使用可能であり、区間 $[a,b]$ が最大のブール値であるのは、 $a=\delta b$ そして $b=\tau a$

これは、両方の要素が $a$ 満足 $\delta\tau a=a$ と要素 $b$ 満足 $\tau\delta b=b$どういうわけか最大の反鎖に対応する必要があります。具体的には、代数が$\mathscr D\!P$ 一部の半順序集合 $P$、その後 $\tau\delta D=D$ にとって $D\in\mathscr D\!P$ それを意味する必要があります $\max D$ は最大の反鎖ですが、 $\delta\tau D=D$ それを意味する必要があります $\min(P\setminus D)$ 最大の反鎖です。

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